Cálculo del combustible requerido para una propulsión de alunizaje

diciembre 14, 2023

Considérese éste planteamiento hipotético (tomado y adaptado de la XI Olimpiada Internacional de Física):

Un vehículo de masa $m$ se mueve alrededor de la luna en una órbita circular de altura $h$ . Para descender a una órbita de alunizaje, se conecta un motor durante un intervalo corto de tiempo. La velocidad de escape de los gases del motor es $u$ . El radio de la luna es $r_{L}$ y la aceleración de la gravedad lunar es $g_{L}$ .

Evalúese el gasto de combustible para trasladar a la nave desde la trayectoria inicial $A$ hasta la superficie del satélite $B$ .

La órbita describe una circunferencia de

e = 0

r = r_{L} + h

. El módulo de su velocidad

v_{0}

invaría, pues la fuerza que le imprime el satélite es uniforme.

M

es la cantidad de materia de la luna.

$m a_{c} = \frac{G M m}{r^{2}} = \frac{m v_{0}^{2}}{r}$

$v_{0} = \sqrt{\frac{G M}{r}}$

$G M = r_{L}^{2} g_{L}$

$v_{0} = r_{L} \sqrt{\frac{g_{L}}{r}}$

Para alterar dicho tránsito y alunizar, se ha de emplear una órbita elíptica que, al alcanzar el cambio instantáneo de $Δ v = v_{0} - v_{A}$ , se sirva de la impulsión del combustible. Se sigue que, de la conservación del momento angular, $v_{A} r = v_{B} r_{L}$ , siendo aquéllas las velocidades en las longitudes máxima y mínima al foco, respectivamente; y, de la conservación de la energía mecánica, que $\frac{1}{2} m v_{A}^{2} - \frac{G M m}{r} = \frac{1}{2} m v_{B}^{2} - \frac{G M m}{r_{L}}$ .

$\frac{v_{A}^{2}}{2} - \frac{G M}{r} = \frac{v_{B}^{2}}{2} - \frac{G M}{r_{L}}$

$\frac{v_{A} r}{r_{L}} = v_{B}$

$\frac{v_{A}^{2}}{2} - \frac{v_{A}^{2} r^{2}}{2 r_{L}^{2}} = \frac{r_{L}^{2} g_{L}}{r} - r_{L} g_{L}$

$\frac{v_{A}^{2}}{2} (1 - {(\frac{r}{r_{L}})}^{2}) = g_{L} (\frac{r_{L}^{2}}{r} - r_{L})$

$v_{A} = r_{L} \sqrt{2 g_{L} \frac{r_{L} (r_{L} - r)}{r (r_{L}^{2} - r^{2})}}$

$Δ v = r_{L} (\sqrt{\frac{g_{L}}{r}} - \sqrt{2 g_{L} \frac{r_{L} (r_{L} - r)}{r (r_{L}^{2} - r^{2})}})$

La anexión del motor ha de remitirse al sistema nave combustible, donde la cantidad de movimiento es conservativa. Sea $m_{1}$ la masa del propulsor, se cumple que $m_{1} u = Δ v (m - m_{1})$ .

$m_{1} = m \frac{Δ v}{u + Δ v}$

$Δ v ≪ u$

$m_{1} = \frac{m}{u} r_{L} (\sqrt{\frac{g_{L}}{r}} - \sqrt{2 g_{L} \frac{r_{L} (r_{L} - r)}{r (r_{L}^{2} - r^{2})}})$

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