Cálculo del combustible requerido para una propulsión de alunizaje

Considérese éste planteamiento hipotético (tomado y adaptado de la XI Olimpiada Internacional de Física):

Un vehículo de masa \(m\) se mueve alrededor de la luna en una órbita circular de altura \(h\). Para descender a una órbita de alunizaje, se conecta un motor durante un intervalo corto de tiempo. La velocidad de escape de los gases del motor es \(u\). El radio de la luna es \(r_L\) y la aceleración de la gravedad lunar es \(g_L\).

Evalúese el gasto de combustible para trasladar a la nave desde la trayectoria inicial \(A\) hasta la superficie del satélite \(B\). 

La órbita describe una circunferencia de \(e=0\) y \(r=r_L+h\). El módulo de su velocidad \(v_0\) invaría, pues la fuerza que le imprime el satélite es uniforme. \(M\) es la cantidad de materia de la luna.

\[ma_c=\frac{GMm}{r^{2}}=\frac{mv_{0}^{2}}{r}\]

\[v_{0}=\sqrt{\frac{GM}{r}}\]

\[GM=r_{L}^{2}g_L\]

\[v_{0}=r_L\sqrt{\frac{g_L}{r}}\]

Para alterar dicho tránsito y alunizar, se ha de emplear una órbita elíptica que, al alcanzar el cambio instantáneo de \(\Delta v=v_0-v_A\), se sirva de la impulsión del combustible. Se sigue que, de la conservación del momento angular, \(v_Ar=v_Br_L\), siendo aquéllas las velocidades en las longitudes máxima y mínima al foco, respectivamente; y, de la conservación de la energía mecánica, que \(\frac{1}{2}mv_{A}^{2}-\frac{GMm}{r}=\frac{1}{2}mv_{B}^{2}-\frac{GMm}{r_L}\).

\[\frac{v_{A}^{2}}{2}-\frac{GM}{r}=\frac{v_{B}^{2}}{2}-\frac{GM}{r_L}\]

\[\frac{v_Ar}{r_L}=v_B\]

\[\frac{v_{A}^{2}}{2}-\frac{v_{A}^{2}r^{2}}{2r_{L}^{2}}=\frac{r_{L}^{2}g_L}{r}-r_{L}g_L\]

\[\frac{v_{A}^{2}}{2}\left ( 1-\left ( \frac{r}{r_L} \right )^2 \right )=g_L\left ( \frac{r_{L}^{2}}{r}-r_L \right )\]

\[v_{A}=r_L\sqrt{2g_L\frac{r_L(r_L-r)}{r(r_{L}^{2}-r^2)}}\]

\[\Delta v=r_L\left (\sqrt{\frac{g_L}{r}}-\sqrt{2g_L\frac{r_L(r_L-r)}{r(r_{L}^{2}-r^2)}}  \right )\]

La anexión del motor ha de remitirse al sistema nave combustible, donde la cantidad de movimiento es conservativa. Sea \(m_1\) la masa del propulsor, se cumple que \(m_1u=\Delta v(m-m_1)\).

\[m_1=m\frac{\Delta v}{u+\Delta v}\]

\(\Delta v\ll u\)

\[m_1=\frac{m}{u}r_L\left (\sqrt{\frac{g_L}{r}}-\sqrt{2g_L\frac{r_L(r_L-r)}{r(r_{L}^{2}-r^2)}}  \right )\]

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