Deducción del principio de gravitación newtoniano

Por definición, acontece que la acción gravitacional recíproca que experimenta un par aislado de corpúsculos es proporcional al producto de sus masas, \(m_1\) y \(m_2\), e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, \(r\), que los separa. Discurre, de este modo, la formulación del principio de gravitación universal newtoniano, que, además, le relaciona una constante \(G\), que concreta la magnitud de esta fuerza atractiva.

\[F=G\frac{m_1m_2}{r^2}\]

He aquí, se ha de reconstruir el modelo matemático de aquélla proposición, apelando, por ello, a mediciones actuales, que convergen con facilidad en la demostración antedicha.

Obtención a partir de las aceleraciones centrípetas de la luna y de una partícula en la superficie terrestre

Es evidente que a toda causa motriz corresponde un efecto igual y contrario: O sea, las acciones mutuas de dos cuerpos (\(m_1\),\(m_2\)) siempre son iguales y dirigidas en direcciones opuestas.

Concédase, entonces, que el módulo de aquélla fuerza invaría e indistingue el orden másico.

\[F(m_1,m_2 )=F(m_2,m_1 )\]

\[\vec{F}(m_1\rightarrow m_2 )=-\vec{F}(m_2\rightarrow m_1)\]

Ha de validarse, pues es lógicamente consecuente, que aquélla gravitación, llámese atracción, ocurre bajo la única proporcionalidad válida que provee la aritmética para tal suposición teórica: el producto.

\[F\propto m_1 m_2\]

Si se observa el medio natural, ha de acreditarse que, de imprimirse aquélla fuerza, surge otra consideración superlativa: la longitud, nótese \(r\). Pues el movimiento satelital de la Luna, la caída de los graves y las trayectorías parabólicas de los proyectiles así lo ratifican.

Es, pues, necesario, escribir aquél término como una función sin definición, llámese sólo \(f(r)\). 

\[F\propto m_1 m_2 f(r)\]

El trabajo restante estriba, por consiguiente, en derivar la relación de aquél \(r\), introduciendo, a su vez, en la expresión una constante \(G\) cuya utilización sea provisional y dependa únicamente de las dimensiones que se ocupen.

\[F=G m_1 m_2 f(r)\]

\[f(r)=\frac{F}{G m_1m_2}\]

Si se quiere subordinar el análisis a los axiomas newtonianos, se ha de expresar la fuerza en función de otra magnitud, a saber: la variación del movimiento, que es la tasa de cambio de la velocidad por unidad de tiempo (\(\frac{\Delta v}{\Delta t}\)). Objétese al vector aceleración, \(a\), que es inversamente proporcional a la cantidad de materia, \(m_1\). Reduciéndose el enunciado.

\[f(r)=\frac{a}{G m_2}\]

Ahora bien, se han de suprimir \(G\) y \(m_2\), efectuando una razón entre las aceleraciones de dos cuerpos distintos que, bajo aquél criterio, tiendan, en sus desplazamientos, hacia el centro de la Tierra. De aquél modo, \(m_2\) es común.

\[Z=\frac{f(R_T)}{f(R_L)}=\frac{a_g}{a_L}\]

Tómenese, por practicidad, las aceleraciones centrípetas de los cuerpos en la superficie, \(a_g=9.8 m/s^2\), y de la Luna, \(a_L\), habiéndose determinado \(R_T=6.371\) km, \(R_L=384,400\) km y \(T_L=27\) días, aproximándose, de tal modo, a una órbita concéntrica y a la homogeneidad esférica y regular para la geometría del globo terrestre. La Luna describe una órbita circumterrestre cuya física es semejante al movimiento de giro sobre un eje traslacional. Se asocian, fundamentalmente, las ecuaciones del movimiento circular uniforme.

\[a=\frac{v}{r^2}=\omega^2r=\frac{4\pi ^2r}{T^2}\]

Se obtiene para \(a_L=2.7\cdot 10^{-3} m/s^2\).

\[Z=\frac{9.8}{2.7\cdot 10^{-3}}=3629.629=\left ( \frac{R_T}{R_L} \right )^p\]

Así, \(p\) sitúa a \(r\) en la ecuación que describe el principio de gravitación clásico.

\[p=\log_{\frac{R_T}{R_L}}(Z)=-2\]

Se demuestra la proporcionalidad inversa de \(F\) y \(r\).

\[F\propto \frac{1}{r^2}\]

\[F=G\frac{m_1m_2}{r^2}\]

Comprobación a partir del período de revolución y el radio orbital de los satélites circunjoviales

Se han seleccionado el período del tránsito y el radio de los satélites de Júpiter para estimar la desviación que el factor \(p\) hubo presentado con respecto a las magnitudes empleadas en el cálculo previo.

	\(T\) (\(10^6\) s)	\(r\) (\(10^6\) km)
Ío	0.153	0.422
Europa	0.307	0.671
Ganímedes	0.618	1.070
Calisto	1.442	1.883

Se adaptó la ecuación para denotar \(\epsilon\) como el error o la desviación media.

\[F=G \frac{m_1 m_2}{r^{2+\epsilon}}\]

Se incorporó el sumando \(\epsilon\) en las ecuaciones cinemáticas.

\[a=\frac{4\pi^{2} }{T^2}r=G\frac{m_2}{r^{2+\epsilon }}\]

\[T^2=\frac{4\pi^{2} }{Gm_2}r^{3+\epsilon}\]

\[T=\sqrt{\frac{4\pi^{2} }{Gm_2}r^{3+\epsilon}\ }=\frac{2\pi }{\sqrt{Gm_2}}r^{\frac{3+\epsilon}{2}}\]

Para obtener una regresión lineal,

	\(\ln T\)	\(\ln r\)
Ío	11.938	19.907
Europa	12.635	20.324
Ganímedes	13.334	20.791
Calisto	14.128	21.356

Como el álgebra es de primer grado, se ordenó la ecuación de la recta así \(\ln T=m\ln r+b\). Y se extrae el término requerido, \(\epsilon\), vinculando la equivalencia antedicha.

\[\ln T=\ln \frac{2\pi }{\sqrt{Gm_2}}r^{\frac{3+\epsilon}{2}}=\ln \frac{2\pi }{\sqrt{Gm_2}}+\ln r^{\frac{3+\epsilon}{2}}\]

\[\ln T=\ln \frac{2\pi }{\sqrt{Gm_2}}+{\frac{3+\epsilon}{2}\ln r}\]

\[m={\frac{3+\epsilon}{2}}\]

\[\epsilon=2m-3\]

Identificándole con \(m\), se operó según el ajuste de los mínimos cuadrados. Como \(T\) depende de \(r\), se ubicaron en los ejes \(y\) y \(x\), respectivamente.

\[m=\frac{\sum xy-\frac{\sum x\sum y}{n}}{\sum x^{2}-\frac{(\sum x)^{2}}{n}}=1.540\]

\(\sum x\)	82.378
\(\sum y\)	52.089
\(\sum xy\)	1074.542
\(\sum x^{2}\)	1697.699
\(n\)	4

\[\epsilon=8\cdot10^{-2}\]

Conclusión

El análisis del respecto físico derivó la forma general de la ecuación para la ley de la gravitación universal. Se comprobó, en efecto, la aplicabilidad de aquélla formulación. 

\[F=G\frac{m_1m_2}{r^2}\]